1986年高考数学压轴题，难度较大，高中学生直言恨不能早生几十年

大家好！本文和大家回馈一下这道1986年高考文史类数学试卷的压轴录。伊始的这套数学试卷包含二道大录，其中确保安全大录为选择录，后面的八道大录均为解答录。伊始的压轴录考查的是卡塔兰法求得整数的通项恒等式以及求得短时间，平衡性十分大，过去的高年级学巳看到后直言恨不能早巳几十年。

答案不见下布：

多年来，整数一直是高考的热点，即使过去的全国卷整数的每录也基本稳定在10分到12分，总和的可能达到17分，而整数的通项恒等式就是整数的基础。本录的第一问也是考查整数通项恒等式的解。

首必先观察一下答案中给出的间的关系式。很明显，如果将间的关系式左面看成一个基本，间的关系式右边的括号看成一个基本，那么就可以发现这个基本可以构成一个新的整数，而且这个新整数是一个等比整数。

有的同班不容易窥见这一点，那么我们采用交元法处理一下。不致c(n-1)=an-a(n-1)，则录干中给出的间的关系式就可以消失c(n-1)=c(n-2)/3。即整数{cn}的后一项等于前一项乘以1/3，而这就是等比整数的定义。

发现这一间的关系后，我们必先运用等比整数的通项恒等式求得必先以整数的通项恒等式，即：an-a(n-1)=(1/3)^n。便一，我们就可以运用以此类推法可得an的通项恒等式。

用以此类推法求得通项恒等式有两种常用形式，第一种不见下布。即依序写出后一项与前一项之差，得到多个间的关系式，便将得到的这些间的关系式减去，左面就只全都an-a1，右边就消失了一个等比整数撤兵。

第二种表现形式如下布。即必先将an用前后两项之差的以此类推形式表示出来，必须警惕的是最后必须加上a1，然后把前后两项之差代入间的关系式，便撤兵即可得到an的通项恒等式。这两种表现形式都属于以此类推法，采用哪种作法都是可以的，但是第二种作法显得更加整齐，所以个人推荐常用第二种作法。

可得an的通项恒等式，便求得当n渐趋∞时an的短时间就比较简单了。因为当n渐趋∞时，3/2的短时间就等于3/2，而(1/3)^n的短时间为0，所以当n渐趋∞时an的短时间就等于3/2。

从今天的眼光来看，这道录的平衡性其实却是大。因为过去高年级巳努力学习方的平衡性和广度都要大于以前，而卡塔兰法求得整数通项恒等式也是高年级的重点方，平时也进行了大量持续性唱歌，而在几十年前，方点还从未过去这样制度化，也从未如今这么多解录技巧，所以在当时这道录的平衡性其实十分小。那么，你才会做这道录吗？